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Volumenstrom
Views: 11350 Druckbare Version zeigen Jemanden per E-Mail auf dieses Thema hinweisen Show RSS feed.
Geschrieben: 03.05.2008 um 19:20 von Obi Wan

Kategorie: Physik / Strömung in Formel und Erläuterung

Berechnung des Volumenstroms


Wir betrachten laminare (verwirbelungsfreie) Fluide, wobei als Fluid inkompressibele (nicht zusammenpressbar) Gase und Flüssigkeiten bezeichnet werden. Wir setzen voraus, dass die zwischenmolekularen Bindungskräfte durch Adhäsionskräfte, Kräfte zwischen den Wand- und Fluidmolekülen, hervorgerufen werden. Sie sind für die innere Reibung verantwortlich.



Laminare Strömung

Wir stellen uns mal 2 Platten mit einem Abstand D vor, wobei sich die untere einmal nicht bewegt und die obere Platte mit der konstanten Geschwindigkeit v0 vorwärts bewegt. Der Zwischenraum ist vollständig mit einem Fluid gefüllt.

Aufgrund der Adhäsionskräfte klebt sozusagen die Flüssigkeit an den Plattenrändern. Daher entsteht ein Geschwindigkeitsgefälle zwischen dem Fluid an der ruhenden und an der sich bewegenden Platte. Es entstehen also Fluidschichten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, die aneinander abgleiten ohne sich zu vermischen. Diese bezeichnet mal als Laminate, woher sich auch der Name ableitet.

[Man kann das sich mit übereinandergestapelten Bauklötzen veranschaulichen.]



Innere Reibung

Wir wissen, dass das Fluid unterschiedliche Geschwindigkeiten v an unterschiedlichen Orten x hat. Das bringt man mathematisch wie folgt zum Ausdruck:

Für die weitere Betrachtung müssen wir unser Bauklotzmodell anpassen. Wir nehmen jetzt mal unsere Bauklötze und stellen uns vor, dass wie sie ganz schmal also dx hoch machen. Ein besserer Vergleich wäre jetzt ein Stück Papier. Das Fluid wäre jetzt demnach ein Papierstapel mit der Höhe D und der Fläche A.

Wenn wir jetzt auf das oberste Blatt des Papierstapels eine hand legen und diese in eine Richtung verschieben, können wir das gleiche beobachten, was mit den Flüssigkeitsschichten passiert. Die hier von der Hand ausgeübte Kraft auf den Papierstapel nennt man Scherung. Diese Scherkraft beschreibt die von uns benötigte Reibung und sieht wie folgt aus:


Der Faktor Eta vor der Fläche A beschreibt die Eigenschaften des Fluids. Es ist die dynamische Viskosität (Zähigkeit), also die Eigenschaft, wie ?flüssig? ein Stoff ist. [Man vergleiche hierzu Wasser mit Öl, Öl hat im Vergleich die höhere Viskosität.]


Und jetzt das durchströmte Rohr

Die zuvor beschriebene Reibungskraft wird einem Rohr von der Druckkraft Fp aufgenommen.



Der in Klammern stehende Ausdruck ist die Druckdifferenz zwischen den betrachteten Rohrabschnitten und der Rest ist nichts weiter als die Querschnittsfläche des Innenrohres.

Wir können also schreiben:

Minus, da Kräfte gegeneinander wirken; dr statt dx, da Länge x jetzt Radius r]

Hierzu noch ein paar wichtige Anmerkungen:
  • Die Fläche der unbewegten Platte ist die Rohrinnenwandfläche
  • Die bewegte Fläche der bewegten Platte ist eine Linie im Rohr mit dem Radius r = 0.

Ganz ausführlich für den Interessierten, sonst weiter unten weiterlesen:

Hier zeige ich nur der Vollständigkeit halber, wie die Formel für die Geschwindigkeitsverteilung entsteht, ohne Anmerkungen:


C folgt aus der Anfangsbedingung: v = 0 am Rand des Rohres mit dem Radius R.



JETZT WIEDER FÜR ALLE:


Wir können also jetzt jede Geschwindigkeit bei jedem Radius ermitteln.


Es stört die Druckdifferenz

Im Folgenden suchen wir nun noch einen Zusammenhang für p1 - p2. Das kürze ich einmal ab und gebe die Formel für den Volumenstrom einfach an. Eine Ergänzung erfolgt zu einem späteren Zeitpunkt.



Wir stellen um und setzen in die Geschwindigkeitsgleichung ein und erhalten:


Diese Formel ermöglicht uns nun die Berechnung der Geschwindigkeiten in Abhängigkeit des Radius bei gegebenem Volumenstrom.


Die durchschnittliche Strömungsgeschwindigkeit im Rohr


Im Verständnis eigentlich ganz einfach, aber zu berechnen recht schwer. Also wir suchen die mittlere Geschwindigkeit im Rohr. Wenn man den Mittelwert zweier Zahlen x1 und x2 berechnen will so macht man das ja ganz einfach (x1 + x2)/2 und schon hat mans.

Bei einer Funktion geht das prinzipiell genauso. Also legen wir los.

Um bei einer Funktion den Mittelwert für v zu finden, müssen ein rm so finden, dass die beiden Flächen A1 und A2 gleich groß sind.

Und jetzt nicht erschrecken, die folgenden Zeilen sind nur für jene, die es ganz genau nachvollziehen wollen. Der Rest kann getrost bis zum Ende blättern und die Formel ablesen ? die ist ganz einfach.


Wir setzen nun die Funktion ein:


Das müssen wir nur noch in die Ausgangsgleichung einsetzen und erhalten für die mittlere Geschwindigkeit:


Das ist nun die weitaus bessere Gleichung zur weiteren Berechnung. Anhand dieser Gleichung können wir auch sehen, dass der Volumenstrom nicht über den gesamten Rohrquerschnitt gleich ist. Der Mittelwert der Strömungsgeschwindigkeit eigent sich also besser für weitere Berechnungen, da er dem tatsächlich herrschenden Volumenstrom besser als der Maximalwert beschreibt.



Wir machen Euch kalt ...aber leise!


[02/04, Nico]
Zuletzt aktualisiert: 12.08.2009


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