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Wärmekonvektion
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Geschrieben: 03.05.2008 um 19:23 von Obi Wan

Kategorie: Physik / Wärme in Formel und Erläuterung

Berechnung der Wärmekonvektion

Hallo Freaks und Cracks der Theorie!
Also nicht gleich erschrecken bei der Länge dieses Artikels. Hier heißt die Devise: "Durchkämpfen und schlauer werden - Bücher sind dicker!"
Nur Mut!


Für die Wärmeübertragung in Kühlkreisläufen stellt die Konvektion die wichtigste Komponente dar. Im Folgenden soll nun die Konvektion theoretisch erklärt werden. Dies versuche ich möglichst einfach zu halten, doch leider werde ich nicht auskommen, ohne die eine oder andere Gleichung zu verwenden. Da in der Konvektion verschiedenste Faktoren einfließen, werden diese Gleichungen mitunter sehr schnell sehr umfangreich. ich hoffe aber trotzdem, dass ich sie für jeden verständlich erklären kann. Wenn nicht, fragt einfach nach, denn dumme Fragen gibt es nicht und wenn den einen oder anderen Knif kennt, ist die Konvektion gar nicht so schwer....
... also fangen wir an:


Grundlagen der Konvektion


Stellen wir uns als erstes die Frage, was Konvektion überbhaupt ist, so gibt uns die Wärmetechnik folgende Antwort:

"Konvektion ist der Wärmeübergang zwischen einem Fluid und einer Wand."

Gut, so kommen wir der Sache etwas näher. Aber was versteht man unter Fluid? Nun ein Fluid ist ein flüssiger oder gasförmiger Stoff. Also ist die Konvektion das fehlende und uns interessiernden Bindeglied. Im Vorangegangenen haben wir die Wärmeleitung kennengelernt, also den Wärmeübergang durch einen Körper. Nun was aber passiert wenn der Körper auf ein Fluid trifft? Genau dies untersucht die Konvektion.

Kommen wir nun zu einer weiteren fundametalen Grundlage, die oft übersehen wird.

"Die Konvektion hängt ausschließlich vom strömenden Fluid ab. Das Material der Wand hat keinen Einfluss."

Seltsam nicht, aber bei näherer Betrachtung doch recht einleuchtend. Ein Wärmeübergang stellt sich immer auf Grund einer Temperaturdifferenz ein. Also auf Grund der Wandtemperatur und der so genannten Freistromtemperatur, die im weiteren Verlauf noch genau erklärt wird. Ob nun die Wand aus Kupfer, Stahl, Glas oder Gips ist, spielt im Grunde also keine Rolle, nur die anliegende Temperatur ist von Bedeutung.

Selbst der Übergang zwischen einer Flüssigkeit und einem Gas kann mittels Konvektion beschrieben werden, soll aber hier mal außer Acht gelassen werden, da dieses Beispiel doch zu sehr ins Detail gehen würde.

Verienfacht wollen wir nun davon ausgehen, dass die Wand an jeder Stelle die gleiche Temperatur hat und diese zeitlich konstant ist, sich also nicht ändert. Wir sprechen von einem quaistatischen System. Eine weitere Vereinbarung, die wir nun treffen wollen ist, dass die Ränder der Wand adiabat seien. Das heißt, dass die Wärme ausschließlich kenvektiv übertragen wird und die Ränder keine Wärme übertragen.



Der Abstecher in die Fluidmechanik


Bevor wir nun zur Konvektion kommen, müssen wie leider noch einen kleinen Abstecher in die Fluidmechanik machen, um noch ein paar weitere Grundlagen zu klären. Weiter oben wurde von der Freistromtemperatur gesprochen - Was soll sie nun bedeuten?

Betrachten wir nun mal eine Hauswand.

Die Wand ist umgeben von Luft, also von einem Fluid umströmt. Nehmen wir an, dass die Oberfläche aus Rauputz besteht, also recht grob ist.

Die Luft befindet sich nun in Bewegung, lassen wir sie einfachheitshalber nach oben strömen. Was ist aber nun mit der Luft, die in direktem Kontakt mit der Wand steht? Auf Grund der Oberflächenrauhigkeit, die ja die Strömung und damit die Geschwindigkeit der Luft behindert, muss diese kleiner als die der Luft, die weit weg von der Wand ist. Machen wir den Fokus nun immer kleiner, wir gehen also immer mehr ins Detail, so wird die Geschwindigkeit immer kleiner, bis sie schließlich an der Oberfläche der Wand 0 ist. Das unmittelbar an die Wand stoßende Fluidmolekül bewegt sich also nicht. Es gilt die Haftbedingung.

Dies muss auch so sein, denn würde kein direkter Kontakt zwischen den Atomen bestehen, so könnte keine Wärme ausgetauscht, also abgeleitet werden.

Nun liegt an jeder Wand eine Grenzschichtan, in welcher doe Tempereatur und die Geschwindigkeit nicht konstan sind. Beide Werte beschrieben in diesem Gebiet Kurven, die gegen einen Grenzwert gehen. Diese beiden Grenzwerte, die in ihrem weiteren Verlauf konstant sind, nennt man Freistromtemperatur bzw. Freistromgeschwindigkeit und werden zur Berechnung der Konvektion herangezogen.


Die Konvektionsgleichung

Nun wissen wir also mit welchen Temperaturen wir rechnen, noch haben wir aber keine Gleichung. Setzen wir Ersteinmahl die Wärmestromgleichung nach Newton (1701) an so gilt:


Q ist hier das Formelzeichen für die Wärme, Alpha wird als Wärmeübergangskoeffizient bezeichnet, A steht für die Fläche, die zur Konvektion beiträgt und die beiden Theta-Werte stehen für die Temperaturen entsprechend ihrer Indizes. Alternativ könnte man auch für die Thetas auch ein großes T schreiben, dann muss man allerdings die Celsius-Temperaturen in absolute Kelvin-Temperaturen umrechnen.



Freie und erzwungene Konvektion

Allgemeines

Bevor nun zum interessanten Teil kommen, müssen wir noch eine grundlegende Unterscheidung treffen. Lassen wir erst einmal folgenden Satz auf uns wirken.

Bevor nun zum interessanten Teil kommen, müssen wir noch eine grundlegende Unterscheidung treffen. Lassen wir erst einmal folgenden Satz auf uns wirken.

Nun was hat dies zu bedeuten. Machen wir es an einem für uns interessanten Beispiel deutlich. Nehmen wir einen Wärmeübertrager (Wärmetauscher) und bestücken diesen mit Lüftern, so wird sich die Strömung und deren Geschwindigkeit aufgrund dessen Leistungsvermögen einstellen, wir erzwingen also den Luftstrom! Lassen wir den Wärmeübertrager aber wie er ist, so stellt sich der Luftstrom aufgrund des Auftriebes ein. Die Luft wird erhitzt und heiße Luft steigt nach oben, diese zieht kalte Luft nach, die wiederum erhitzt, und so weiter und so weiter. Schon bald hat sich auf diese Weise ein quasistatisches System eingestellt mit konstanter Temperatur und Geschwindigkeit.

Dies sind die beiden grundlegenden Arten der Konvektion.

Machen wir nun ein weiteres Gedankenexperiment. Welche Faktoren haben nun Einfluss auf die Konvektion und den Wärmeübergangskoeffizienten? Modellgeometrie und Strömungsgeschwindigkeit fallen sofort ins Auge, Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit - ohne Frage. Doch nun wird es schon schwerer. Nun um es kurz zu machen, 2 weitere wichtige Größen sind die Fluiddichte, sowie deren Viskosität. Nun stehen wir vor einem weiteren Großen Problem, wie nämlich lassen sich all diese Faktoren unter einen Hut bringen und wie kann der Wärmeübergangskoeffizient bestimmt werden. Nun die eine Möglichkeit ist das Bestimmen über Messungen, was aber in vielen Fällen nicht oder nur sehr schwer möglich ist. Man möchte ja im Normalfall wissen, welcher Wärmestrom abgeführt werden kann, bevor man etwas baut ;-)

In diesem Fall helfen uns einige markante dimensionslose Kenngrößen, auf die wir im Weiteren eingehen werden.

Nun stellt sich die Frage, warum diese Kenngrößen dimensionslos sind. Zur Erklärung müssen wir ein weiteres Fachgebiet streifen, die Ähnlichkeitstheorie.

Diese besagt kurz und knapp:

In physikalisch ähnlichen Fällen haben dimensionslose Kenngrößen denselben Zahlenwert?

Was aber bedeutet dies. Nun, nehmen wir an, wir wollten eine Brücke bauen, die über ein Tal geht. Nun sei aber, dass in diesem Tal aufgrund extremer Witterung eine starke Thermik wirkt, die im Gesamten stark schwankt. Wie aber sollen wir nun deren Auswirkung auf die Statik bestimmen. Die Frequenzen und Schwingungen sind in den Formeln kaum zu erfassen. Nun wir bauen ein Modell und setzen dieses Versuchsbedingungen aus, die den realen Bedingungen gleichen. Wie jeder sich nun gleich denken wird, werden sich die Resultate auf die Brücke übertragen lassen.

Und genauso so funktioniert die Konvektion. Der reale Fall lässt sich auf Modelle zurückführen, zu denen Gleichungen gegeben sind und sich exakt Berechnen lassen.

In den Kenngrößen werden alle Faktoren eingebracht und zur Berechnung sozusagen aufbereitet.

Bevor wir nun zur Berechnung dieser dimensionslosen Kenngrößen kommen, müssen wir uns nun mit einer weiteren Grundlage befassen, die fundamentalen Einfluss auf unseren gesuchten Wärmeübergangskoeffizienten hat, die Modellgeometrie. Wie oben erläutert, werden unsere realen Fälle auf Modelle zurückgeführt. Im Falle der Konvektion handelt es sich herbei um die Platte, den Zylinder(Rohr) und die Kugel. Nun müssen wir uns folgende Frage stellen:

Welche Eigenschaften der Modellgeometrie finden Einfluss in die dimensionslosen Kenngrößen?

Überlegen wir kurz, so stellen wir fest, dass alle oben genannten Geometrien Flächen und Volumina darstellen. Also könnten wir sagen, nun gut die Fläche und das Volumen werden Einfluss finden. Das stimmt leider nicht. Modelle werden immer abstrahiert, sozusagen bis zu den kleinsten gemeinsamen Eigenschaften. Da wir ja nun schon festgestellt haben, dass die Kenngrößen dann immer noch den gleichen Zahlenwert haben, es also egal ist, ob nun eine Platte eine Fläche von 2 oder 200 qm hat, wenn sie nur, ja wenn sie nur die gleiche überströmte Länge besitzt. Verrückt nicht? Nun gut, wollen wir etwas Licht ins Dunkel bringen. Was macht die Luft, wenn sie auf unsere Geometrie trifft? Nun, sie streicht daran entlang, welche Richtung und welche Strömungsform seien nun egal, sie wird immer über eine bestimmte Länge am Objekt entlangstreichen. Diese Länge ist das Charakteristikum der Modellart, sie wird im Folgenden charakteristische Länge (l´) genannt. Die Fläche, die überstrichen wird, spielt für unsere Kenngrößen keine Rolle, wohl aber für den Wärmeübergang. Der Wärmestrom errechnet sich analog der Gleichung nach Newton.

Der Wärmeübertragungskoeffizient bezieht sich immer auf ein infinitissimal (unendlich) kleines Teilstück und wird auf die Fläche bezogen, da nun unsere Kennzahlen zu dessen Berechnung dienen, müssen sie dieser Konvention folgen.

Jetzt haben wir die ganze Zeit von diesen dimensionslosen Kennzahlen gesprochen, ohne sie auch nur einmal beim Namen zu nennen. Nun wird das ganze leider sehr mathematisch, lasst Euch aber von den Formeln nicht abschrecken, sie scheinen zwar komplex, hat man es aber einmal begriffen, so ist es gar nicht so schwer...

Die dimensionslosen Kenngrößen sind Nußeltzahl, Reynoldszahl, Grashofzahl, Raleighzahl und Prandtlzahl.



Universale Kenngrößen

Im Folgenden sollen nun erst einmal Nußelt- und Prandtlzahl erläutert werden. Alle anderen folgen in gesonderten Unterabschnitten, da sie entweder für freie oder erzwungene Konvektion spezifisch sind. Universal wurde deshalb gewählt, da beide Kenngrößen für beide Konvektionsarten gelten, sie deshalb universal für die Konvektion gelten.

Die Nußeltzahl


Nu steht hier für die Nußeltzahl, Alpha kennen wir ja als Wärmeübergangskoeffizient schon, l' wird als charakteristische Länge bezeichnet und Lambda ist die so genannte Wärmeleitfähigkeit.

Die Nußeltzahl ist definiert über Wärmeübergangskoeffizient, der Wärmeleitfähigkeit und der charakteristischen Länge, beinhaltet somit alle Faktoren die den Wärmeübergang bestimmen, in diesem Falle die Wärmeleitung und die Konvektion, beide charakteristische Kenngrößen sind enthalten.

Die Prandtl-Zahl


etrachten wir uns die Gleichung genauer, so finden wir darin nur alte Bekannte. Zum einen sind Wärmekapazität (cp) und Wärmeleitfähigkeit enthalten, zum anderen die dynamische Viskosität. Somit können wir die Prandtlzahl als Zusammenfassung der Stoffwerte betrachten.

Da alle Werte abgelöst sind von der Geometrie und somit in ihren Temperaturintervallen konstant sind für alle Modellarten, kann die Prandtlzahl ebenfalls als konstant angesehen werden. Somit ist sie tabelliert, man muss sie nicht berechnen, was uns Arbeit und Mühe spart.

Betrachten wir diese beiden Kenngrößen, so stellen sich uns 2 Fragen. Zum einen haben wir nun die Stoffwerte und den Wärmeübergang in unser Modell aufgenommen, doch fehlt uns noch die Strömungsgeschwindigkeit, die immensen Einfluss auf die Konvektion hat. Weiterhin stellt sich uns bei der Nußeltzahl ein Problem. Wir möchten den Wärmeübertragungskoeffizienten errechnen, doch dieser ist Bestandteil der Definition der Nußeltzahl, über welche wir den Koeffizienten errechnen möchten. Wir befinden uns also in der Zwickmühle. Eben dieses Problem soll im nächsten Abschnitt behandelt werden, zum einen werden wir sehen, wie der Strömungszustand eingebracht wird und zum anderen werden wir über unsere weiteren ermittelten Kenngrößen die Nußeltzahl bestimmen. Dafür müssen wir aber ab nun strickt zwischen freier und erzwungener Konvektion unterscheiden.


Die Erzwungene Konvektion:

Bei der erzwungenen Konvektion wird der Strömungszustand von Außen bestimmt, zum Beispiel durch das Anbringen von Lüftern an Kühlern, wir sprechen somit von einer aktiven Kühlung.

Beginnen wir nun mit der fehlenden Kenngröße, die den Strömungszustand beschreibt, der Reynoldszahl:

Die Definition der Reynoldszahl lautet:


Die Reynoldszahl ist also definiert über Dichte und dynamische Viskosität, also zwei weiteren Stoffwerten, und der Geschwindigkeit.

Somit haben wir alle Faktoren berücksichtigt und auf unser Modell übertragen und können die Nußeltzahl errechnen. Hierfür wird in verschiedene Modellfälle unterschieden, die die verschiedenen Geometrien berücksichtigen.

Zuvor müssen wir aber noch einige Vereinbarungen treffen.

  1. Die Stoffbezugstemperatur

Alle Stoffwerte, die zur Berechnung benötigt werden, sind bei der sogenannten Stoffbezugstemperatur zu bestimmen. Beim durchströmten Körper (Rohr Innen) gilt:


Stoffbezugstemperatur = Dem Mittel aus Ausgangs- und Eingangstemperatur
Beim umströmten Körper gilt:


Die Bezugstemperatur ist gleich der Freistromtemperatur. Wir erinnern uns, dies ist die Temperatur die im weiteren Verlauf konstant ist!

  1. Wandkorrekturfaktor

Wie wir im Abschnitt über die Grundlagen gelernt haben, entsteht an der Wand eine Grenzschicht, in der weder Geschwindigkeit noch Temperatur konstant sind. Da aber die Stoffwerte bei einer konstanten Temperatur bestimmt wurden, muss diese Eigenart der Grenzschicht berücksichtigt werden. Dies geschieht über den Wandkorrekturfaktor K. Dieser wird je nach Modellfall auf eine andere Art ermittelt.

  1. Strömungsform

Wie wir wissen, kann eine Strömung in 2 Arten vorliegen. Sie kann laminar oder turbulent sein. In manchen Sonderfällen existiert weiterhin ein Übergangsgebiet, also irgendetwas dazwischen. Was aber nun bedeutet dies für unsere Konvektion. Nun betrachten wir einmal die laminare Strömung, so erkennen wir, dass sich die Strömung mit einer mehr oder minder einheitlichen Geschwindigkeit bewegt. Auch ist die Richtung der Bewegung gleich. Betrachten wir nun aber eine turbulente Strömung, deren Volumenstrom gleich der oben beschriebenen laminaren Strömung ist, so sehen wir, dass der Strom verwirbelt ist, d.h. die Relativbewegung der einzelnen Wassereinheiten ist größer als die der laminaren Komponenten, obwohl die Bewegung in Rohrrichtung gleich ist. Somit ist die Geschwindigkeit größer und man könnte sagen, mehr frisches Wasser trifft auf die Wand. Somit haben wir auch einen höheren Wärmeübertragungskoeffizienten. Aber wie bestimmen wir nun, ob eine Strömung laminar oder turbulent ist. Aufschluss gibt uns die Reynoldszahl, sie beschreibt ja den Strömungszustand. Hierfür wurden nun Grenzwerte ermittelt, auf die wir uns beziehen können.

Im Folgenden werde ich nun die wichtigsten Modellfälle beschreiben, die Reynoldszahlen und die charakteristischen Längen angeben. Die Formeln zur Berechnung der Nußeltzahlen, die uns ja interessieren, werde ich im Anhang angeben, da sie sehr umfangreich sind.





Wir machen Euch kalt ...aber leise!


[02/04, Nico]
Zuletzt aktualisiert: 12.08.2009


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