Cosinus
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- Dieses Thema hat 4 Antworten und 3 Teilnehmer, und wurde zuletzt aktualisiert vor 11 Jahren, 1 Monat von Horstelin.
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27. Februar 2013 um 9:02 Uhr #502196x20011Teilnehmer
Kann mir jemand erklären, warum gilt:
1/2*(1+cos(4*pi*f*t)) = (cos(2*pi*f*t))^2
Ich meine kla kann ich bei der rechten funktion die ^2 als Bruch dastellen, aber wo kommt denn bitte die 1+ in der linken Funktion her? Stehe da grade ein bischen auf dem Schlauch… 🙁
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27. Februar 2013 um 13:02 Uhr #933812HorstelinTeilnehmer
Die Herleitung von Trigonometrischen Gesetzen kannst du dir eigentlich sparen, das ist was für einen Studierten Mathematiker 😉 Wie immer hilft aber Wikipedia mit dem Ursprung:https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Produkte_der_Winkelfunktionencos(wt)^2= cos(wt)*cos(wt)=1/2*(cos(0)+cos(wt+wt)cos(0) ist bekanntlich 1.€dith: falls dir Komplexe Zahlen was sagen kann ichs dir natürlich auch richtig erklären 😉
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27. Februar 2013 um 18:02 Uhr #932808ThaRippaAdministrator
Horstellin: bitte erklärs mal richtig. Ich habe vor vielen Jahren vergessen, wie das mit den imaginären/komplexen Zahlen war.
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28. Februar 2013 um 10:02 Uhr #933833HorstelinTeilnehmer
Einfach mal zur verdeutlichung:
Die Komplexe Ebene hat eine reelle Achse (bekannt aus den reellen Zahlen 😉 ) und eine Imaginäre.
Komplexe Zahlen sind Definiert als z=x + iy was den kartesischen Koordinaten entspricht
Man kann Komplexe zahlen aber auch als z= r*e^ix darstellen, wobei r die Länge und x den Winkel zur reellen Achse darstellt, das ganze entspricht dann Polarkoordinaten.
Wenn man nun von Polar- zu kartesischen Koordinaten umrechnet, kommen Cosinus und Sinus ins Spiel und dieser Zusammenhang ist für uns wichtig, weil der Cosinus sich so in e-funktionen darstellen lässt:
e^ix=cos x + i sin x und e^-ix=cos x – i sin x
<=>
cos x = e^ix -i sin x = e^ix + e^-ix – cos x
<=>
2 cos x = e^ix + e^-ix
=> cos x = 1/2*(e^ix +e^-ix) (I)
Somit haben wir einen Zusammenhang zwischen Cosinus und Exponentialfunktionen, was praktisch ist weil es sich mit e-Funktionen deutlich einfacher rechnet.
Nun zum ursprünglichen Problem:
cos^2 (x) = cos x * cos x = (1/2)*(1/2)*(e^ix + e^-ix)^2
= (1/4)*((e^ix)^2+2*(e^ix)(e^-ix)+(e^-ix)^2)
Jetzt kommen wir zum spannenden Teil: Wenn man Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten miteinander multipliziert, addieren sich die Winkel, im einzelnen:
(e^ix)(e^ix)=e^i2x
(e^ix)(e^-ix)=e^i(x-x)=e^0=1
(e^-ix)(e^-ix)=e^-i2xAlso= cos^2 (x) = (1/4)*(e^i2x + 2 + e^-i2x)
<=> (1/2)*(1/2)*(e^i2x + 2 + e^-i2x)
<=> (1/2)*((1/2)*(e^i2x + e^-i2x)+1)
<=> (1/2)*(cos(2x)+1)Tadaa 😉 Im letzten Schritt habe ich einfach Zusammenhang (I) rückwärts benutzt 😉
Hoffe das war soweit verständlich, wenn man allerdings noch nie mit Komplexen Zahlen zu tun hatte, sollte man sich nicht wundern wenn man es nicht versteht 😉 .
MfG Urs
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28. Februar 2013 um 10:02 Uhr #933832x20011Teilnehmer
Vielen Dank Horstelin, ich habs hingekriegt 🙂
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